L’accord pythagoricien

Comment accorder les instruments à partir des harmoniques naturelles ? Les deux premières harmoniques, soit le son initial et ses octaves successives, ne suffisent pas (ou en tous cas ce serait un peu pauvre : on ne jouerait que des do à différentes octaves…). Par contre, en ajoutant la troisième harmonique, c’est-à-dire au moyen des quintes naturelles obtenues par division successives par trois de la corde initiale, je puis réaliser un accord complet de l’instrument.
L’accord qui en résulte, dit accord pythagoricien, est le plus approprié pour jouer la musique pré-renaissante, jusque vers 1500 ou 1520.
Mais pour vous montrer cet accord pythagoricien, je dois le faire sur un autre instrument, car les écarts fixes entre les tangentes du clavicorde ne permettent pas de l’accorder autrement qu’à l’accord mésotonique. J’ai accordé ce virginal de type italien selon l’accord pythagoricien.

L’accord pythagoricien

Je partirai de mi b (et non pas de do, pour des raisons de commodité, mais cela ne change rien à ce que je veux vous montrer).
Je tiens à préciser d’emblée que la manière dont je vous montrerai l’accord ne correspond pas du tout à la pratique normale des accordeurs. Je le fais consciemment parce que cela permet mieux de montrer concrètement sur quelle base se réalisent ces accords.

Nous allons donc construire un accord du clavier basé entièrement sur cet intervalle de quinte naturelle, en accordant par quintes successives – quitte à compléter par des octaves vers en haut ou vers en bas, toutes les notes du clavier. J’accorde tous les mi b de l’instrument, au moyen de l’harmonique qui donne l’octave. Puis je fais entendre la troisième harmonique du mi b, qui donne la quinte, soit un si b ; j’accorde la corde du si b correspondant de manière qu’elle donne la même hauteur de son (la même fréquence) ; puis j’accorde à l’octave tous les si b. De même je produis la quinte naturelle du si b, soit fa ; j’accorde en conséquence les fa. Et ainsi de suite : do, puis sol, ré, la, mi, si, fa dièse, do dièse, sol dièse. Là, je puis faire entendre de nouveau l’harmonique quinte de ce sol dièse, soit le ré dièse : vous l’entendez. Mais si maintenant je veux attribuer à ce ré dièse une touche et la corde qui avec, je vois que la place est déjà prise par un mi b ! L’accord est ainsi terminé.

Une sixte diminuée

Remarquez qu’il ne faudrait pas, jouant sur un instrument ainsi accordé, et posant les doigts sur les touches sol dièse et mi b, croire qu’on joue une quinte, comme si l’on était au piano ! On trouverait que l’accord est très faux ! Mais on se tromperait : ce n’est pas l’accord qui est faux, c’est vous qui vous trompez en croyant jouer un ré dièse alors que vous jouez un mi b. Ce que vous entendez n’est pas une quinte, mais une sixte diminuée, et encore très particulière, puisqu’elle plus petite qu’une quinte ! Si vous jouez une suite harmonique impliquant effectivement une sixte diminuée (et non une quinte), vous verrez que cela sonne parfaitement juste.

Le comma pythagoricien

Je ne puis donc pas jouer directement un ré dièse puisqu’il n’y a pas de touche pour cela. Mais comme nous l’avons vu je puis quand même faire entendre un ré dièse comme harmonique de sol dièse, comme lors des étapes précédentes. Et je puis comparer ce ré dièse, harmonique de sol dièse, que vous entendez bien maintenant, au mi b. Comme vous le voyez, les deux sons sont assez proches l’un de l’autre, le ré dièse étant légèrement plus haut que le mi b ; ils diffèrent d’environ un quart de demi-ton.
Ce qu’on constate donc, c’est qu’en ayant fait ainsi douze pas de quinte naturelle, nous sommes arrivés à un son assez voisin de celui obtenu par un certain nombre de pas d’octave naturelle.
C’est, si l’on veut, un hasard. Il n’est pas possible qu’un son obtenu par une série de quintes naturelles ait exactement la même fréquence qu’un son obtenu par une suite d’octaves. Pourquoi cela ? Parce que cette fréquence devrait être à la fois une puissance de deux et une puissance de trois (multipliée par la fréquence du son initial), ce qui est impossible puisque chaque nombre n’a qu’une seule et unique décomposition en facteurs premiers. Il ne peut donc s’agir que d’une approximation.
Cette relative proximité entre le son obtenu par douze quintes naturelles et celui obtenu par une suite d’octaves a déjà été observé par les théoriciens de l’antiquité. La différence entre ces deux sons a été nommée comma pythagoricien (ci-dessous c.p.) Le mot comma veut dire une petite différence.
Cet intervalle, vous l’avez entendu concrètement. Je vous le fais entendre encore une fois.

Le tempérament égal

On peut, profitant de cette relative et fortuite proximité, décider arbitrairement d’identifier ce ré dièse à un mi bémol. Pour cela, la plus simple (mais non pas la seule) possibilité consiste à réduire de manière égale cet excès – le c.p. – en le répartissant entre les douze quintes, c’est-à-dire en diminuant chacune de un douzième du c.p. A partir du mi b initial, nous diminuons le si b de 1/12ème de c.p., le fa de 2/12ème c.p., le do de 3/12ème c.p…., le sol dièse de 11/12ème de c.p., et enfin le ré dièse, ainsi diminué de 12/12ème de c.p., donc du c.p. entier, sera identique à un mi b.
Nous aurions ainsi réalisé le tempérament égal (t.é.). Cela n’a plus rien de naturel, mais cela peut constituer une sorte de référence abstraite utile. Ainsi cela permet de préciser que le c.p. est environ d’un quart de demi-ton du t.é. (en fait exactement 23,45 centièmes de demi-ton, 23,45 cents comme on dit).

Encore la tierce pythagoricienne

Avant d’en terminer sur l’accord pythagoricien, je vous fais entendre les tierces majeures, très larges et un peu désagréables à entendre. Cette tierce pythagoricienne, obtenue par quatre quintes naturelles successives, est la même que je vous ai fait entendre au violoncelle entre le do grave et le mi obtenu sur la corde de la.

Les demi-tons inégaux dans l’accord pythagoricien

Une autre particularité, très importante, de l’accord pythagoricien concerne les demi-tons. Car ils ne sont pas identiques : il y a des demi-tons plus larges et plus étroits. Vous pouvez entendre cette différence. Remarquez que les grands demi-tons sont ceux où la note ne change pas de nom (ex ; do – do dièse) ; les petits demi-tons sont ceux où la note change de nom (ex. : do dièse – ré) (ce sera l’inverse dans l’accord mésotonique). Et il se trouve que la différence entre les demi-tons larges et les demi-tons étroits est exactement d’un comma pythagoricien.
Cela est facile à comprendre. Si vous mettez sur une ligne les noms de notes par ordre des quintes : mi b tout à gauche, puis si b, fa, do … et à droite fa dièse, do dièse, sol dièse, vous voyez bien qu’en passant par exemple de do à do dièse, vous devez passer sept intervalles de quinte (depuis do : sol, ré la, mi, si, fa dièse, do dièse, soit sept), donc sept pas vers la droite ; et dans l’accord pythagoricien, en comparaison du tempérament égal, vous ajoutez, en plus des quintes successives, à chaque pas 1/12 du c.p. ; donc dans l’accord pythagoricien, ce demi-ton do – do dièse sera augmenté de 7/12 c.p. par rapport à celui du tempérament égal. A l’inverse, pour passer du do dièse au ré, vous devez aller vers la gauche, cette fois de cinq pas (à partir du do dièse : fa dièse – si – mi – la – ré : cinq pas) ; ce demi-ton sera donc diminué de 5/12 c.p. par rapport au t.é. Une grandeur augmentée de 7 unités, la même diminuée de cinq unités : la différence entre les deux est donc de 7+5, soit 12 de ces unités. Donc la différence entre ces deux demi-tons sera de douze fois un douzième de c.p., donc exactement d’un c.p.

La fonction de sensible dans l’accord pythagoricien

Si ces considérations arithmétiques vous ennuient, il suffit de retenir ce que vous avez entendu concrètement, à savoir qu’il y a deux sortes de demi-tons dans cet accord, et que les demi-tons courts sont ceux entre une sensible et sa résolution. Le si sensible de do, tend vers do et est proche de do ; idem do dièse proche de ré, fa dièse proche de sol etc. Les autres demi-tons sont plus larges : do est loin de do dièse, mi b loin de mi, etc. On voit donc le rôle de la sensible dans l’accord pythagoricien. Le ré dièse, sensible de mi, est, nous l’avons vu, plus haut que le mi b. La fonction indiquée par le mot dièse ou bémol a donc ici plus de poids que le nom de note, puisque ré dièse est plus haut que mi b. Il en ira exactement à l’inverse dans l’accord mésotonique.

Un exemple musical. Une tierce majeure dissonante.

Pour vous donner une idée de l’effet produit par l’accord pythagoricien, je vous fais entendre quelques notes d’une musique pour clavier aux environs de 1450, en fait d’une composition de Conrad Paumann, l’organiste aveugle de St Sebald à Nuremberg.
Ecoutez bien cette résolution. Vous entendez que cette tierce majeure sol-si bécarre à la gauche fonctionne ici comme une dissonance qui doit être résolue (rejouer les deux accords). Ainsi la tierce majeure n’a pas (ou pas entièrement) acquis le statut de consonance qui sera le sien dans la musique de la Renaissance.
Par contre, dans la musique que je vous ai jouée en introduction à la présentation de l’instrument (« Ricercar de Jacques »), qui date environ de 1530, vous avez entendu cette conclusion (jouer) : ici la tierce majeure est entièrement reposée et reposante : elle a pleinement acquis son statut de consonance (nous reprenons ici les termes de Jacques Chailley dans son ouvrage « Expliquer l’harmonie »). Aussi n’est-il pas étonnant que le type d’accord le plus approprié pour la musique du XVIème siècle soit (en règle générale) l’accord basé sur la tierce naturelle, soit l’accord mésotonique, vers lequel nous allons nous tourner maintenant.

A suivre donc dans la partie sur l’accord mésotonique.